Avancée des méthodes de simulation

La simulation numérique est apparue avec l'arrivée des premiers ordinateurs. Elle est un formidable outil pour comprendre des phénomènes qui ne sont pas forcément accessibles aux outils analytiques. Avec l'arrivée des ordinateurs, initialement créés pendant la seconde guerre mondiale pour le décryptage, les premières simulations numériques ont vu le jour. Le premier algorithme à avoir été mis en oeuvre, fut un algorithme de Monte-Carlo, qui tire son nom des fameux casinos se trouvant dans la ville du même nom. Cet algorithme est basé, comme pour le jeu de la roulette, sur le principe de tirage aléatoire de nombres. Ces nombres aléatoires sont appliqués pour vérifier une loi en des points tirés aléatoirement. En répétant l'opération un nombre de fois suffisant, nous obtenons une convergence des propriétés globales. L'exemple le plus connu de simulation de Monte-Carlo est le modèle d'Ising qui permet de trouver les propriétés d'un gaz sur réseau comme les fluctuations de spin par exemple. La première simulation de type Monte-Carlo a été utilisée par Metropolis en 1952 [24]. Metropolis, initialement mathématicien et physicien, employé dans l'équipe d'Oppenheimer à Los-Alamos lors du projet Manhattan, a beaucoup contribué à la réalisation des premiers ordinateurs. Une deuxième classe de modélisation, que nous allons justement employer dans cet ouvrage, est la simulation de type dynamique moléculaire. Elle a été utilisée pour la première fois, très peu de temps après les premières simulations Monte-Carlo, en 1957 par Alder et Wainwright dans un modèle de gaz où les molécules étaient considérées comme des sphères impénétrables [25]. La simulation de dynamique moléculaire consiste à résoudre les équations aux dérivées partielles (équation du mouvement par exemple), en substituant les dérivées de différents ordres par leur développement limité. De cette façon, en partant de conditions initiales, nous pouvons déduire une approximation de la trajectoire dans l'espace des phases de ces molécules. En utilisant des conditions initiales nous pouvons, grâce au développement limité, déduire les coordonnées dans l'espace des phases en un point très proche dans le temps. Nous pouvons ainsi remonter à la totalité de la trajectoire point après point. Cet algorithme a cependant un problème. Le développement limité reste une approximation, donc petit à petit la trajectoire calculée diverge de la trajectoire réelle. Des recherches ont été menées jusqu'à aujourd'hui pour limiter cette divergence et pour diminuer le temps de calcul des trajectoires. La découverte de la chimie quantique a aussi beaucoup stimulé la recherche en algorithmique. La remise du prix Nobel de chimie 1998 à John Anthony Pople montre d'ailleurs tout l'intérêt que portent de nos jours les scientifiques à la modélisation.

Il existe bien sûr beaucoup d'autres algorithmes de simulation numérique qui ne s'appliquent pas seulement à des domaines des sciences dures. Nous utilisons en effet aussi bien la modélisation dans le calcul du trafic routier que dans le calcul des fluctuations des cours de la bourse. Il y a même eu un cas où une roulette de casino avait été modélisée dans le but de gagner en prédisant le mouvement de la boule. En filmant celle-ci avec un téléphone de nouvelle génération, la trajectoire peut être modélisée sur un calculateur distant pour donner une prédiction du mouvement de la boule. Sans parler des recherches effectuées, autant par les mathématiciens que dans bien d'autres domaines, sur les réseaux de neurones et l'algorithmique génétique. Ils permettent d'approximer n'importe quelle fonction par un réseau de neurones équivalent, même les fonctions les moins analytiques comme les fluctuations boursières. Le problème étant de trouver le réseau de neurones dans tous les problèmes où la fonction que nous cherchons à trouver n'est pas connue. Ainsi, des méthodes basées sur la sélection naturelle permettent de trouver les réseaux de neurones équivalents à la fonction cherchée.

Ainsi, nous voyons que non seulement les ordinateurs sont de plus en plus puissants, mais que les méthodes de simulation évoluent conjointement. Nous présenterons donc tout au cours de cet ouvrage, les techniques de modélisations, appliquées tout d'abord à la modélisation de la dynamique du plasma, puis aux réactions chimiques que peuvent avoir les particules dans le plasma. Nous présenterons aussi une étude des compétitions énergétiques se jouant pendant la croissance d'un cristal et enfin la modélisation des mécanismes de transition de l'amorphe au cristallin dans les agrégats. Nous finirons par l'étude d'une structure particulière qui est apparue lors des résultats de la modélisation des structures cristallisées.

quentin 2007-09-05